Question

已知函数，当时，.

（1）若函数在区间上存在极值点，求实数a的取值范围；

（2）如果当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围；

（3）试证明：.

Answer

（1）；（2）；（3）证明过程详见解析.

【解析】

试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的极值与最值等数学知识，考查学生分析问题解决问题的能力、转化能力和计算能力.第一问，先对求导，利用，判断函数的单调区间，利用单调性的变化，判断有无极值；第二问，将已知的恒成立问题转化为，即转化为求函数的最小值问题，利用导数判断的单调性，求出最小值；第三问，利用第二问的结论进行变形，得到类似所证结论的表达式，通过式子的累加得到所证结论.

试题解析：（1）当x>0时，，有

；

所以在（0，1）上单调递增，在上单调递减，

函数在处取得唯一的极值．由题意，且，解得

所求实数的取值范围为. 4分

（2）当时， 5分

令，由题意，在上恒成立

6分

令，则，当且仅当时取等号．

所以在上单调递增，． 8分

因此， 在上单调递增，．

所以．所求实数的取值范围为 9分

（3）由（2），当时，即，即． 10分

从而． 12分

令，得，

将以上不等式两端分别相加，得

14分

考点：1.利用导数研究函数的单调性；2.利用导数求函数的极值和最值；3.恒成立问题.