Question

已知函数

(1)求曲线y=f(x)在(2，f(2))处的切线方程；

(2)若g(x)=f(x)一有两个不同的极值点．其极小值为M，试比较2M与一3的大小，并说明理由；

(3)设q>p>2，求证：当x∈(p，q)时，.

Answer

（1）；（2）；（3）证明过程详见解析.

【解析】

试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、利用导数求曲线的切线方程等数学知识，考查学生分析问题解决问题的能力、转化能力和计算能力.第一问，先对求导，将代入到中得到切线的斜率，将代入到中得到切点的纵坐标，最后利用点斜式，直接写出切线方程；第二问，对求导，由于有2个不同的极值点，所以有2个不同的根，即在有两个不同的根，所以且，可以解出a的取值范围，所以根据的单调性判断出为极小值，通过函数的单调性求最值，从而比较大小；第三问，用分析法证明分析出只须证，构造函数，利用函数的单调性证明，同理再证明，最后利用不等式的传递性得到所证不等式.

试题解析：（1）易知，

所求的切线方程为，即 4分

（2）易知，

有两个不同的极值点

在有两个不同的根

则且 解得 6分

在递增，递减，递增

的极小值

又

则，在递减

，故 9分

（3）先证明：当时，

即证：

只需证：

事实上，设

易得，在内递增

即原式成立 12分

同理可以证明当时，

综上当时，. 14分

考点：1.利用导数判断函数的单调性；2.利用导数求函数的极值和最值；3.利用导数求曲线的切线.