Question

已知椭圆的左焦点为,左、右顶点分别为,过点且倾斜角为的直线交椭圆于两点,椭圆的离心率为,．

（1）求椭圆的方程；

（2）若是椭圆上不同两点，轴，圆过点，且椭圆上任意一点都不在圆内，则称圆为该椭圆的内切圆．问椭圆是否存在过点的内切圆？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）；（2）存在

【解析】

试题分析：（1）由离心率为，倾斜角为的直线交椭圆于两点，.通过联立直线方程与椭圆的方程，可求得的值.即可得结论.

（2）依题意可得符合要求的圆E，即为过点, 的三角形的外接圆.所以圆心在x轴上.根据题意写出圆E的方程.由于圆的存在必须要符合，椭圆上的点到点距离的最小值是，结合图形可得圆心在线段上，半径最小.又由于点F已知，即可求得结论.

试题解析：（1）因为离心率为，所以，

所以椭圆方程可化为：，直线的方程为， 2分

由方程组，得：,即, 4分

设，则， 5分

又，

所以，所以，椭圆方程是； 7分

（2）由椭圆的对称性，可以设，点在轴上，设点，

则圆的方程为，

由内切圆定义知道，椭圆上的点到点距离的最小值是，

设点是椭圆上任意一点，则, 9分

当时，最小，所以① 10分

又圆过点，所以② 11分

点在椭圆上，所以③ 12分

由①②③解得：或，

又时，，不合，

综上：椭圆存在符合条件的内切圆，点的坐标是． 13分

考点：1.待定系数求椭圆方程.2.函数的最值.3.方程的思想解决解决解几问题.3.归纳化归的思想.4.运算能力.