Question

如图，已知正方形的边长为，点分别在边上，，现将△沿线段折起到△位置，使得．

（1）求五棱锥的体积；

（2）求平面与平面的夹角．

Answer

（1）；（2）

【解析】

试题分析：（1）由于△沿线段折起到△的过程中，平面平面始终成立.所以平面.又因为，正方形的边长为，点分别在边上，.即可求得结论.

（2）依题已建立空间直角坐标系.求出两个平面的法向量，由法向量的夹角得到平面与平面的夹角.

试题解析：（1）连接，设，由是正方形，，

得是的中点，且，从而有，

所以平面，从而平面平面， 2分

过点作垂直且与相交于点，

则平面 4分

因为正方形的边长为，，

得到：，

所以，

所以

所以五棱锥的体积； 6分

（2）由（1）知道平面，且，即点是的交点，

如图以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则， 7分

设平面的法向量为，则

，

，

令，则， 9分

设平面的法向量，则，

，

令，则，即， 11分

所以，即平面与平面夹角. 12分

考点：1.线面垂直的判定与性质.2.二面角.3.空间想象力.