Question

在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C：=1（a>b≥1）的离心率e=，且椭圆C上的点到点Q （0,3）的距离最大值为4，过点M（3，0）的直线交椭圆C于点A、B．

（1）求椭圆C的方程。

（2）设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），当|AB|<时，求实数t的取值范围．

Answer

(1) ;(2) 或

【解析】

试题分析：(1)此问主要考察椭圆与双曲线的性质，椭圆的离心率与双曲线的性质相等，则，利用直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于半径，解出,然后利用,解出,得到方程;

(2)典型的直线与圆锥曲线相交问题，首先方程联立,写出根与系数的关系，代入向量相等的坐标表示，得出点坐标，利用点在椭圆上，代入方程，然后利用,利用弦长公式，得到的范围，与之前得到的与的关系式，求出的范围.

试题解析：（1）∵ ∴ 1分

则椭圆方程为即设则

，当时，

有最大值为 解得 ∴，椭圆方程是 5分

（2）设方程为

由 整理得．

由，解得．

， 7分

∴ 则,

， 由点P在椭圆上，代入椭圆方程得

① 9分

又由，即，

将，，代入得则,

， ∴② 11分，

由①，得.联立②，解得

∴或 13分

考点：1.圆锥曲线的性质；2.直线与圆锥曲线相交问题