Question

已知函数f（x）=x³+x²+ax+b,g（x）=x³+x²+ 1nx+b，（a，b为常数）．

（1）若g（x）在x=l处的切线方程为y=kx－5（k为常数），求b的值；

（2）设函数f（x）的导函数为f’（x），若存在唯一的实数x₀，使得f（x₀）=x₀与f′（x₀）=0同时成立，求实数b的取值范围；

（3）令F（x）=f（x）－g（x），若函数F（x）存在极值，且所有极值之和大于5+1n2，求a的取值范围．

Answer

（1）；（2）；（3）

【解析】

试题分析：（1）根据导数的几何意义，先求 ,利用,然后将代入，求出`,此点也在函数f(x)上，代入，即可求出;

（2）根据,消去,得到关于的三次方程，，此方程有唯一解，令，求出,利用导数求出极值点，以及两侧的单调性，从而分析图像，得到的取值范围；

（3），因为存在极值，所以在上有根即方程在上有根．得到根与系数的关系，代入极值,得到的取值范围.

试题解析：（1）∵ 所以直线的，当时，，将（1，6）代入，得． 4分

（2） ，由题意知消去，

得有唯一解．

令，则， 6分

所以在区间上是增函数，在上是减函数，

又，故实数的取值范围是． 9分

（3）

因为存在极值，所以在上有根即方程在上有根． 10分

记方程的两根为由韦达定理，所以方程的根必为两不等正根． 12分

所以满足方程判别式大于零

故所求取值范围为 14分

考点：1.导数的几何意义；2.利用导数求函数极值，单调性；3.导数解决函数的综合问题.