Question

以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试的数学成绩，乙组记录中有一个数字模糊，无法确认．假设这个数字具有随机性，并在图中以a表示．

（1）若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，求a的值；

（2）求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；

（3）当a=2时，分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，设这两名同学成绩之差的绝对值为X，求随机变量X的分布列和数学期望，

Answer

（1）1；（2）；（3）详见解析.

【解析】

试题分析：(1) 根据平均数计算公式,直接由甲、乙两个小组的数学平均成绩相等列式求解的值；

（2）分值从共种情况，由（1）中求得的结果可得，当时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，然后由古典概率模型概率计算公式求概率；

(3)用枚举法列出所有可能的成绩结果，查出两名同学的数学成绩之差的绝对值为的情况数，然后由古典概率模型概率计算公式求概率，然后列分布列，根据公式,此题属于基础题型,关键是读懂题，就能拿满分.

试题解析：（1）依题意，得： 

解得 ． 3分

（2）【解析】
设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件，

依题意 ，共有种可能．

由（1）可知，当时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，

所以当时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有种可能．

因此乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率． 7分

（3）【解析】
当时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，所有可能的成绩结果有种， 它们是：

,,,,,,,，

则这两名同学成绩之差的绝对值的所有取值为

因此，，，，． 10分

0

1

2

3

4

所以随机变量的分布列为：

所以的数学期望

． 12分

考点：1.样本平均数；2.古典概型；3.离散型随机变量的分布列与方差.