Question

已知数列{a_n}满足a₁＞0，a_n+1=2－，。

（1）若a₁，a₂，a₃成等比数列，求a₁的值；

（2）是否存在a₁，使数列{a_n}为等差数列？若存在，求出所有这样的a₁，若不存在，说明理由。

Answer

(1) 或 ;(2) 当且仅当时，数列为等差数列．

【解析】

试题分析：(1) 把表示为的式子，通过对的范围进行讨论去掉绝对值符号，根据成等比数列可得关于的方程，解出即可；

（2）假设这样的等差数列存在，则成等差数列，即，将（1）的过程代入，得到关于的方程，分情况①当时②当时,求得进行判断；看是否与矛盾.此题的难点在与讨论绝对值的几何意义，去绝对值.

试题解析：（1）∵，∴，．

（ⅰ）当时，，

由，，成等比数列得：

∴，解得． 3分

（ⅱ）当时，

∴，解得（舍去）或．

综上可得或． 6分

（2）假设这样的等差数列存在，则

由，得，即．

（ⅰ）当时，，解得，从而（），此时是一个等差数列； 9分

（ⅱ）当时，，解得，与矛盾；

综上可知，当且仅当时，数列为等差数列． 12分

考点：1.等差与等比数列；2.绝对值的意义.