Question

已知椭圆C：=1（a>0，b>0）的离心率与双曲线=1的一条渐近线的斜率相等以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线sin·x+cos·y－l=0相切（为常数）．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若过点M（3，0）的直线与椭圆C相交TA，B两点，设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），当时，求实数t取值范围．

Answer

(1) ;(2) 或．

【解析】

试题分析：(1)此问主要考察椭圆与双曲线的性质，椭圆的离心率与双曲线的性质相等，则，利用直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于半径，解出,然后利用,解出,得到方程;

(2)典型的直线与圆锥曲线相交问题，首先方程联立,写出根与系数的关系，代入向量相等的坐标表示，得出点坐标，利用点在椭圆上，代入方程，然后利用,利用弦长公式，得到的范围，与之前得到的与的关系式，求出的范围.

试题解析：（I）由题意知双曲线的一渐近线斜率值为

，

因为，所以．故椭圆的方程为 5分

（Ⅱ）设方程为

由 整理得．

由，解得．

， 7分

∴ 则,

， 由点在椭圆上，代入椭圆方程得

① 9分

又由，即，

将，，

代入得则,

， ∴② 11分

由①，得，联立②，解得

∴或 13分

考点：1.圆锥曲线的性质；2.直线与圆锥曲线相交问题