Question

已知是椭圆的两个焦点，为坐标原点，点在椭圆上，且，⊙是以为直径的圆，直线：与⊙相切，并且与椭圆交于不同的两点

（1）求椭圆的标准方程；

（2）当，且满足时，求弦长的取值范围．

Answer

（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）求椭圆的标准方程，可利用待定系数法，求出的值即可，由已知，得，可得，把代入椭圆的方程，即可求出的值，从而得椭圆的标准方程；（2）当，且满足时，求弦长的取值范围，可利用弦长公式来求，设，由，得，得，由于同时含有，可消元，由直线：与⊙相切，可得，这样由弦长公式得，可求出的范围即可，由已知，且满足，由，可得，从而得的范围，进而得弦长的取值范围．

试题解析：（1）依题意，可知，∴，

解得

∴椭圆的方程为 5分

（2）直线：与⊙相切，

则，即， 6分

由，得，

∵直线与椭圆交于不同的两点

设∴，

，

∴ ．9分

∴∴，

∴ ．11分

设，

则，

∵在上单调递增∴ 13分

考点：椭圆的方程，直线与二次曲线的位置关系．