Question

已知函数（、为常数），在时取得极值.

（1）求实数的值；

（2）当时，求函数的最小值；

（3）当时，试比较与的大小并证明.

Answer

（1）；（2）取最小值；（3）．

【解析】

试题分析：（1）因为函数 （、为常数），在时取得极值，故，因此，先对函数求导得，，由可得实数的值；（2）当时，求函数的最小值，当时，由得，代入得 ，对求导，判断单调性，即可得函数的最小值；（3）比较与的大小，直接比较不好比较，可比较对数的大小即与，两式作差得，只需判断它的符号，即判断的符号，即判断的符号，可构造函数，证明即可．

试题解析：（1）

∴ （3分）

（2）时

，

∴在上单调递减，在上单调递增 （6分）

∴当时，取最小值 （8分）

（3）令

，∴在上单调递减，在上单调递增 ，∴ 当且仅当时取最小值

∵ ∴

∴ ∴

∴ ∴ （14分）

考点：函数的极值，函数的最值，比较大小，函数的单调性．