Question

设定圆，动圆过点且与圆相切，记动圆圆心的轨迹为.

（1）求轨迹的方程；

（2）已知，过定点的动直线交轨迹于、两点，的外心为．

若直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值．

Answer

（1）；（2）

【解析】

试题分析：（1）求轨迹的方程，由题意定圆，动圆过点且与圆相切，可知点在圆内，由此可得圆内切于圆，可得，根据椭圆定义可知轨迹为椭圆，故可求出轨迹的方程；（2）求证：为定值，由题意直线斜率不为0，可设直线为， 设点，，由，由根与系数关系得，写出直线的中垂线方程，与直线的中垂线方程，求出点的坐标，即得直线的斜率，从而可得为定值．

试题解析：（1）∵点在圆内 ∴圆内切于圆

∴

∴点的轨迹.的方程为 5分

（2）由存在 ∴ 直线斜率不为0

设直线为 设点，

直线的中垂线方程为：

即 ∵ ∴即

即 即

同理可得直线的中垂线方程为： 7分

∴点的坐标满足

9分

又∵直线的斜率为 ∴（） 13分

考点：椭圆的方程，直线与二次曲线的位置关系．