Question

已知函数（、为常数），在时取得极值．

（1）求实数的取值范围；

（2）当时，关于的方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；

（3）数列满足（且），，数列的前项和为，

求证：（,是自然对数的底）．

Answer

（1）且；（2）；（3）详见解析．

【解析】

试题分析：（1）求实数的取值范围，因为函数在时取得极值，故在有定义，得，可对函数求导得，，则是的根，这样可得的关系是，再由的范围可求得的取值范围；（2）当时，关于的方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围，当时，由得，代入得 ，对求导，判断单调性，即可得函数的最小值；（3）求证：，即证，因此需求出数列的通项公式及前项和为，由数列满足（且），，得，即，可求得，它的前项和为不好求，由此可利用式子中出现代换，由（2）知，令得，，取，叠加可证得结论．

试题解析：（1） ∵在有定义 ∴

∴是方程的根，且不是重根

∴ 且 又 ∵ ∴且 4分

（2）时 即方程在上有两个不等实根

即方程在上有两个不等实根

令

∴在上单调递减，在上单调递增

当时，且当时，

∴当时，方程有两个不相等的实数根 8分

（3） ∴ ∴ ∴

∴ 10分

由（2）知

代 得 即

∴

累加得

即 ∴ 得证 14分

考点：函数的极值，函数的最值，数列的通项公式，数列求和，函数的单调性．