Question

已知为椭圆：的左、右焦点，过椭圆右焦点F₂斜率为（）的直线与椭圆相交于两点，的周长为8，且椭圆C与圆相切。

（1）求椭圆的方程；

（2）设为椭圆的右顶点，直线分别交直线于点，线段的中点为，记直线的斜率为，求证为定值．

Answer

（1） （2）= 证明详见解析．

【解析】

试题分析：（1）由的周长为8，可得4a=8，又由椭圆C与圆相切，可得b2=3，即可求得椭圆的方程为．

（2）设过点 的直线方程为：，设点，点，将直线方程代入椭圆中，整理可得关于x的一元二次方程，该方程由两个不等的实数根，其判别式恒大于零，求出，的表达式，由点斜式分别写出直线AE，AF的方程，然后求出点M，N的坐标，在求出点P的坐标，由两点的斜率公式求出直线 的斜率，整理即可求得=．

（1）由题意得 3分

所求椭圆C的方程为． 4分

（2）设过点 的直线方程为：，

设点，点 5分

将直线方程代入椭圆

整理得： 6分

因为点在椭圆内，所以直线和椭圆都相交，恒成立，

且 7分

直线的方程为：，直线的方程为：

令，得点，，

所以点的坐标 9分

直线 的斜率为

11分

将代入上式得：

所以为定值

考点： 1．椭圆的方程和性质；2．直线的斜率公式；3．直线与曲线的位置关系．