Question

数列的前n项和记为点在直线上，．（1）若数列是等比数列，求实数的值；

（2）设各项均不为0的数列中，所有满足的整数的个数称为这个数列的“积异号数”，令（），在（1）的条件下，求数列的“积异号数”

Answer

（1）1 （2）1

【解析】

试题分析：（1）根据数列的第n项与前n项和的关系可得n≥2时，有，化简得an+1=3an （n≥2），要使n≥1时{an}是等比数列，只需 ，从而得出t的值．

（2）由条件求得cn＝1− =，计算可得c1c2=-1＜0，再由cn+1-cn＞0可得，数列{cn}递增，由c2＝＞0，得当n≥2时，cn＞0，由此求得数列{cn}的“积异号数”为1．

（1）由题意，当时，有

两式相减，得， 3分

所以，当时是等比数列，要使时是等比数列，则只需

从而得出 5分

（2）由（1）得，等比数列的首项为，公比，∴

∴ 7分

∵，，∴

∵，

∴数列递增. 10分

由，得当时，.

∴数列的“积异号数”为1. 12分

考点：1.数列与函数的综合；2.等比关系的确定；3.数列的求和．