Question

（本题满分13分）如图，分别过椭圆：左右焦点、的动直线相交于点，与椭圆分别交于不同四点，直线的斜率、、、满足．已知当轴重合时，，．

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在定点，使得为定值．若存在，求出点坐标并求出此定值，若不存在，说明理由．

Answer

（1） （2）M、N坐标分别为；为定值

【解析】

试题分析：（1）由已知条件推导出|AB|=2a=2，|CD|=，由此能求出椭圆E的方程．

（2）焦点F1、F2坐标分别为（-1，0），（1，0），当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为（-1，0）或（1，0），当直线l1，l2斜率存在时，设斜率分别为m1，m2，设A（x1，y1），B（x2，y2），由 ，得(2+3m12)x2+6m12x+3m12−6＝0，由此利用韦达定理结合题设条件能推导出存在点M，N其坐标分别为（0，-1）、（0，1），使得|PM|+|PN|为定值2．

（1）当l1与x轴重合时，，即， 2分

∴ l2垂直于x轴，得，，（4分）

得，， ∴ 椭圆E的方程为． 5分

（2）焦点、坐标分别为(—1，0)、(1，0)．

当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为(—1，0)或(1，0)． 6分

当直线l1、l2斜率存在时，设斜率分别为，，设，，

由得：，

∴ ，．（7分）

，

同理． 9分

∵， ∴，即．

由题意知， ∴．

设，则，即， 11分

由当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为(—1，0)或(1，0)也满足此方程，

∴点椭圆上， 12分

∴ 存在点M、N其坐标分别为，使得为定值． 13分

考点：直线与圆锥曲线的综合问题．