Question

设，曲线在点处的切线与直线垂直.

(1)求的值；

(2)若对于任意的，恒成立，求的范围；

(3)求证：

Answer

【解析】

试题分析：（1）求得函数f（x）的导函数，利用曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x+y+1=0垂直，即可求a的值；

（2）先将原来的恒成立问题转化为lnx≤m(x−)，设g(x)＝lnx−m(x− )，即∀x∈（1，+∞），g（x）≤0．利用导数研究g（x）在（0，+∞）上单调性，求出函数的最大值，即可求得实数m的取值范围．

（3）由（2）知，当x＞1时，m＝时，lnx＜ (x−)成立．不妨令x＝，k∈N*，得出

[ln(2k+1)−ln(2k−1)]＜，k∈N*，再分别令k=1，2， ，n．得到n个不等式，最后累加可得．

(1) 2分

由题设，∴

，. 4分

(2),，，即

设，即.

6分

①若，，这与题设矛盾. 7分

②若方程的判别式

当，即时，.在上单调递减，

，即不等式成立. 8分

当时，方程，设两根为 ，

当,单调递增，，与题设矛盾.

综上所述， . 10分

(3) 由(2)知,当时, 时,成立.

不妨令

所以，

11分

12分

累加可得

∴

∴ ---------------14分

考点：1.利用导数研究曲线上某点切线方程；2.导数在最大值、最小值问题中的应用．