Question

设函数 ．

（1） 当时，求函数的极值；

（2）若，证明：在区间内存在唯一的零点；

（3）在（2）的条件下，设是在区间内的零点，判断数列的增减性.

Answer

（1）极大值，无极小值；（2）详见解析；（3）数列是单调递减.

【解析】

试题分析：（1）当时，函数，于是可利用导数研究函数的单调性与极值；

（2）当时，

要证在区间内存在唯一的零点，只要证在区间内单调且即可；

（3）先求和，再根据得到，结合（2）的结论：函数在区间内是单调递增的，从而得到，结论得证.

【解析】
（1）由已知，得：

由得：

当时，单调递增

当时，单调递减

所以是函数的极大值点，无极小值点

故的极大值为，无极小值.

（2）由已知，得：

∴易得： 于是在区间内存在零点；

又当时，恒成立

∴函数在区间内是单调递增的

故在区间内存在唯一的零点． （8分）

解:（3）：数列是单调递减的. 理由如下： （9分）

由（2）设 是在内唯一的零点，

则

又，

于是

即

由（2）在上是单调递增的，

∴当时，．

故数列是单调递减的. （14分）

考点：1、函数的零点存在性的判断；2、导数在研究函数性质中的应用；3、利用函数的思想解决数列的单调性问题.