Question

如图：两点分别在射线上移动，

且,为坐标原点，动点满足

（1）求点的轨迹的方程;

（2）设，过作（1）中曲线的两条切线，切点分别

为，①求证:直线过定点;

②若,求的值。

Answer

（1） ；（2）②.

【解析】

试题分析：（1） 设动点的坐标为，由

另由

于是由此可消去上参数方程中的参数而得点的轨迹方程.

（2）①设，先用导数求出双曲线在处的切线，利用两切线均过点得到直线的方程并进一步证明其过定点.

②由①可知，设直线的方程为，易知且，

所以可利用方程组消去得，再结合韦达定理解决.

【解析】
（1）由已知得，，即

设坐标为，由得：

∴，消去可得，

∴轨迹的方程为： 4分

（2）①由（1）知，即

设，则，

∴，即，

∵在直线上，∴ ⑴同理可得， ⑵

由⑴⑵可知， ∴直线过定点 9分

②由①可知，设直线的方程为，易知且，将直线的方程代入曲线C的方程得：

∴

又

即 ∴ 13分

考点：1、动点轨迹方程的求法；2、平面向量的数量积；3、直线与圆锥曲线的综合问题.