Question

已知椭圆：（）的右焦点，右顶点,且．

(1)求椭圆的标准方程；

（2）若动直线：与椭圆有且只有一个交点，且与直线交于点,问：是否存在一个定点,使得.若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.

Answer

(1);(2)详见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据椭圆的右焦点，右顶点，且，求出椭圆的几何量，即可求椭圆的标准方程；

（2）直线：，代入椭圆方程，结合，求出的坐标(参数表示)，求出向量的坐标，利用，进行整理，如果为定值，那么不随的变化而变化，建立关于的方程，即可得出结论．此题属于中等题型，关键表示出P点坐标，转化为过定点恒成立的形式.

试题解析：（1）由，，

椭圆C的标准方程为

. 4分

得：， 6分

.

,,即P. 9分

M.

又Q，，，

+=恒成立，

故，即.存在点M（1,0）适合题意. 12分

考点：直线与圆锥的综合问题