Question

已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过右焦点作斜率为的直线交曲线于、两点，且，又点关于原点的对称点为点，试问、、、四点是否共圆？若共圆，求出圆心坐标和半径；若不共圆，请说明理由.

Answer

(1);(2)详见解析.

【解析】

试题分析：（1）设出圆的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出，利用离心率及,求出，即可求出椭圆的标准方程；

（2）求出直线的方程，联立直线方程与椭圆方程，设，利用

，求出坐标，又点关于原点的对称点为点求出的坐标，推出线段的中垂线方程和，然后求出和的交点为，推出四点共圆．

试题解析：（1）由题意可得圆的方程为，

∵直线与圆相切，∴，即， 2分

又，及，得，所以椭圆方程为． 4分

（2）因直线过点，且斜率为，故有

联立方程组，消去，得 6分

设、，可得，于是.

又，得即 8分

而点与点关于原点对称，于是，可得点

若线段、的中垂线分别为和，，则有

联立方程组，解得和的交点为 10分

因此，可算得

所以、、、四点共圆，且圆心坐标为半径为 12分

考点：直线与圆锥曲线的综合性问题