Question

在斜三棱柱中，平面平面ABC，，，.

（1）求证：；

（2）若，求三棱锥的体积.

Answer

（1）证明过程详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：本题主要考查线线垂直、线面垂直、面面垂直、线线平行、三棱锥的体积等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，利用面面垂直的性质得BC⊥平面A1ACC1，则利用线面垂直的性质得A1A⊥BC，由A1B⊥C1C，利用平行线A1A∥C1C，则A1A⊥A1B，利用线面垂直的判定得A1A⊥平面A1BC，则利用线面垂直的性质得A1A⊥A1C；第二问，由于为等腰三角形，平面. A1ACC1⊥平面ABC，所以中边AC上的高为斜三棱柱的高，而三棱锥与三棱锥的体积相等.

（1）因为平面A1ACC1⊥平面ABC，AC⊥BC，所以BC⊥平面A1ACC1，

所以A1A⊥BC．

因为A1B⊥C1C，A1A∥C1C，所以A1A⊥A1B，又BC∩A1B＝B，

所以A1A⊥平面A1BC，又A1C平面A1BC，所以A1A⊥A1C． 5分

（2）由已知及（1），△A1AC是等腰直角三角形，AA1＝A1C＝2，AC＝．

因为平面A1ACC1⊥平面ABC，

所以Rt△A1AC斜边上的高等于斜三棱柱ABC-A1B1C1的高，且等于． 7分

在Rt△ABC中，AC＝BC＝，S△ABC＝AC·BC＝4，

三棱柱ABC-A1B1C1的体积V＝S△ABC·＝． 10分

又三棱锥A1-ABC与三棱锥C-A1B1C1的体积相等，都等于V，

所以三棱锥B1-A1BC的体积V1＝V－2×V＝． 12分

考点：线线垂直、线面垂直、面面垂直、线线平行、三棱锥的体积.