Question

如图，四边形ABCD内接于圆，BD是圆的直径，于点E，DA平分.

（1）证明：AE是圆的切线；

（2）如果，，求CD.

Answer

（1）证明过程详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：本题主要考查三角形相似、内错角相等、弦切角相等、切割线定理等基础知识，考查学生的逻辑推理能力、转化能力.第一问，连结OA，利用OA，OD都是半径，得∠OAD＝∠ODA，利用传递性∠ODA＝∠ADE，得∠ADE＝∠OAD，利用内错角相等，得OA∥CE，所以，所以AE为圆O的切线；第二问，利用第一问的分析得△ADE∽△BDA，所以，即BD＝2AD，所以在中，得，利用弦切角相等得，在中，求出DE的长，再利用切割线定理得CD的长.

（1）连结OA，则OA＝OD，所以∠OAD＝∠ODA，

又∠ODA＝∠ADE，所以∠ADE＝∠OAD，所以OA∥CE．

因为AE⊥CE，所以OA⊥AE．

所以AE是⊙O的切线． 5分

（2）由（1）可得△ADE∽△BDA，

所以，即，则BD＝2AD，

所以∠ABD＝30，从而∠DAE＝30，

所以DE＝AEtan30＝．

由切割线定理，得AE2＝ED·EC，

所以，所以． 10分

考点：三角形相似、内错角相等、弦切角相等、切割线定理.