Question

已知曲线的直角坐标方程为. 以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. P是曲线上一点，，，将点P绕点O逆时针旋转角后得到点Q，，点M的轨迹是曲线.

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）求的取值范围.

Answer

（1）；（2）[2，4].

【解析】

试题分析：本题主要考查直角坐标方程与极坐标方程的互化、三角函数最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用直角坐标方程和极坐标方程的转化公式“，”转化得到曲线的极坐标方程，设出M，P点的极坐标，利用已知条件得P点坐标代入到中即可；第二问，由曲线的极坐标方程得的表达式，利用三角函数的有界性求的最值.

（1）曲线C1的极坐标方程为，即．

在极坐标系中，设M(ρ，θ)，P(ρ1，α)，则

题设可知，． ①

因为点P在曲线C1上，所以． ②

由①②得曲线C2的极坐标方程为． 6分

（2）由（1）得

．

因为的取值范围是，所以|OM|的取值范围是[2，4]． 10分

考点：直角坐标方程与极坐标方程的互化、三角函数最值.