Question

如图，正三角形ABC的边长为2，D，E，F分别在三边AB，BC和CA上，且D为AB的中点，，，.

（1）当时，求的大小；

（2）求的面积S的最小值及使得S取最小值时的值.

Answer

（1）θ＝60；（2）当θ＝45时，S取最小值.

【解析】

试题分析：本题主要考查正弦定理、直角三角形中正切的定义、两角和的正弦公式、倍角公式、三角形面积公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，在中，，①，而在中，利用正弦定理，用表示DE，在中，利用正弦定理，用表示DF，代入到①式中，再利用两角和的正弦公式展开，解出，利用特殊角的三角函数值求角；第二问，将第一问得到的DF和DE代入到三角形面积公式中，利用两角和的正弦公式和倍角公式化简表达式，利用正弦函数的有界性确定S的最小值.

在△BDE中，由正弦定理得，

在△ADF中，由正弦定理得． 4分

由tan∠DEF＝，得，整理得，

所以θ＝60． 6分

（2）S＝DE·DF＝

． 10分

当θ＝45时，S取最小值． 12分

考点：正弦定理、直角三角形中正切的定义、两角和的正弦公式、倍角公式、三角形面积公式.