Question

在斜三棱柱中，平面平面ABC，，，.

（1）求证：；

（2）若，求二面角的余弦值.

Answer

（1）证明过程详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：本题主要考查线线垂直、线面垂直、面面垂直、线线平行、二面角的余弦等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，利用面面垂直的性质得BC⊥平面A1ACC1，则利用线面垂直的性质得A1A⊥BC，由A1B⊥C1C，利用平行线A1A∥C1C，则A1A⊥A1B，利用线面垂直的判定得A1A⊥平面A1BC，则利用线面垂直的性质得A1A⊥A1C；第二问，建立空间直角坐标系，得到面上的点的坐标，计算出向量坐标，求出平面和平面的法向量，利用夹角公式计算出二面角的余弦值.

（1）因为平面A1ACC1⊥平面ABC，AC⊥BC，所以BC⊥平面A1ACC1，

所以A1A⊥BC．

因为A1B⊥C1C，A1A∥C1C，所以A1A⊥A1B，

所以A1A⊥平面A1BC，所以A1A⊥A1C． 5分

（2）建立如图所示的坐标系C-xyz．

设AC＝BC＝2，因为A1A＝A1C，

则A(2，0，0)，B(0，2，0)，A1(1，0，1)，C(0，0，0)．

＝(0，2，0)，＝(1，0，1)，＝(－2，2，0)．

设n1＝(a，b，c)为面BA1C的一个法向量，则n1·＝n1·＝0，

则，取n1＝(1，0，－1)．

同理，面A1CB1的一个法向量为n2＝(1，1，－1)． 9分

所以cosn1，n2＝＝，

故二面角B-A1C-B1的余弦值为． 12分

考点：线线垂直、线面垂直、面面垂直、线线平行、二面角的余弦.