Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且底面ABCD，，E是PA的中点.

（1）求证：平面平面EBD；

（2）若PA=AB=2，求三棱锥P-EBD的高.

Answer

（1）证明过程详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：本题主要以四棱锥为几何背景考查线面垂直、面面垂直、等体积法等基础知识，考查空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，利用线面垂直的性质得PA⊥BD，又因为BD⊥PC，利用线面垂直的判定得到BD⊥平面PAC，最后利用面面垂直的判定得到平面PAC⊥平面EBD；第二问，由于BD⊥平面PAC，所以BD⊥AC，所以ABCD是菱形，可求出的面积，由于BD⊥平面PAC，所以BD⊥OE，所以可求出的面积，用等体积法求出三棱锥P-EBD的体积，通过列出的等式解出高的值.

试题解析：（1）因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD．

又BD⊥PC，所以BD⊥平面PAC，

因为BD平面EBD，所以平面PAC⊥平面EBD． 5分

（2）由（1）可知，BD⊥AC，所以ABCD是菱形，∠BAD＝120．

所以． 7分

设AC∩BD＝O，连结OE，则（1）可知，BD⊥OE．

所以． 9分

设三棱锥P-EBD的高为h，则

，即，解得． 12分

考点：线面垂直、面面垂直、等体积法.