Question

已知函数，.

（1）当时，求的最小值；

（2）若，求a的取值范围.

Answer

（1）0；（2）(－∞，0).

【解析】

试题分析：本题主要考查导数的计算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值、恒成立问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，对求导，利用“单调递增，单调递减”判断函数的单调性，确定函数最值的位置，并求出函数的最小值；第二问，先将已知不等式进行转化，将所求的参数分离出来，构造新的函数，利用“单调递增，单调递减”判断函数的单调性，确定函数最值的位置，并求出函数的最值，代入到所转化的式子中即可.

试题解析：（1）当a＝1时，f(x)＝x2－lnx－x，．

当x∈(0，1)时，f(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0．

所以f(x)的最小值为f(1)＝0． 5分

（2）f(x)＞x，即f(x)－x＝x2－lnx－(a＋1)x＞0．

由于x＞0，所以f(x)＞x等价于． 7分

令，则．

当x∈(0，1)时，g(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，g(x)＞0．

g(x)有最小值g(1)＝1．

故a＋1＜1，a的取值范围是(－∞，0)． 12分

考点：导数的计算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值、恒成立问题.