Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且底面ABCD，，E是PA的中点.

（1）求证：平面平面EBD；

（2）若PA=AB=2，直线PB与平面EBD所成角的正弦值为，求四棱锥P-ABCD的体积.

Answer

（1）证明过程详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：本题主要以四棱锥为几何背景考查线面垂直、面面垂直、向量法、线面角、四棱锥的体积等基础知识，考查空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，利用线面垂直的性质得PA⊥BD，又因为BD⊥PC，利用线面垂直的判定得到BD⊥平面PAC，最后利用面面垂直的判定得到平面PAC⊥平面EBD；第二问，由于BD⊥平面PAC，所以BD⊥AC，得到ABCD为菱形，根据垂直关系建立空间直角坐标系，得到相关的的坐标，从而得到相关向量的坐标，用向量法求出平面EBD的一个法向量，再利用夹角公式列出等式，在中，列出一个等式，2个等式联立，解出b和c的值，得到b和c即OB和OC边长后，即可求出面ABCD的面积，而PA是锥体的高，利用锥体的体积公式求出四棱锥的体积.

试题解析：（1）因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD．

又BD⊥PC，所以BD⊥平面PAC，

因为BD平面EBD，所以平面PAC⊥平面EBD． 4分

（2）由（1）可知，BD⊥AC，所以ABCD是菱形，BC＝AB＝2． 5分

设AC∩BD＝O，建立如图所示的坐标系O-xyz，设OB＝b，OC＝c，

则P(0，－c，2)，B(b，0，0)，E(0，－c，1)，C(0，c，0)．

，，．

设n＝(x，y，z)是面EBD的一个法向量，则，

即取n＝(0，1，c)． 8分

依题意，． ①

记直线PB与平面EBD所成的角为θ，由已知条件

． ②

解得，c＝1． 10分

所以四棱锥P-ABCD的体积

． 12分

考点：线面垂直、面面垂直、向量法、线面角、四棱锥的体积.