Question

如图，E是圆O内两弦AB和CD的交点，过AD延长线上一点F作圆O的切线FG，G为切点，已知EF=FG.

求证：（1）；（2）EF//CB.

Answer

证明过程详见解析

【解析】

试题分析：本题考查切割线定理、三角形相似、同弧所对的圆周角相等、同位角相等等基础知识，考查学生的逻辑推理能力、转化能力.第一问，利用切割线定理得到FG2＝FA·FD，利用已知的等量关系代换式子中的FG，即得到△FED与△EAF中边的比例关系，再由于2个三角形有一个公共角，所以得到2个三角形相似；第二问，由第一问的相似得∠FED＝∠FAE，利用同弧所对的圆周角相等得∠FAE＝∠DAB＝∠DCB，即∠FED＝∠BCD，利用同位角相等得EF∥CB．

试题解析：（1）由切割线定理得FG2＝FA·FD．

又EF＝FG，所以EF2＝FA·FD，即．

因为∠EFA＝∠DFE，所以△FED∽△EAF． 6分

（2）由（1）得∠FED＝∠FAE．

因为∠FAE＝∠DAB＝∠DCB，

所以∠FED＝∠BCD，所以EF∥CB． 10分

考点：切割线定理、三角形相似、同弧所对的圆周角相等、同位角相等.