Question

已知O为锐角△ABC的外心，AB=6，AC=10，,且2x+10y=5，则边BC的长

为.

Answer

4

【解析】分别取AB、AC的中点D、E，连结OD、OE，∵O是锐角△ABC的外接圆的圆心，D、E分别为AB、AC的中点，∴OD⊥AB，OE⊥AC．由此可得在Rt△AOD中，cos∠OAD=，
∴==18.

同理可得=50．
∵，
∴等式的两边都与作数量积，得，化简得18=36x+y， ①
同理，等式的两边都与作数量积，化简得50=x+100y， ②
又∵根据题意知2x+10y=5， ③

∴①②③联解，可得=20，x=且y=.

∴AC·ABcos∠A=20，即10×6cos∠A=20，cos∠A=，

由余弦定理得，BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠A=96,BC=4.

【考点】1.三角形外接圆的性质；2.锐角的三角函数在直角三角形中的定义；3.向量量的数量积公式和方程组的解法.