Question

如图在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，顶点A1在底面ABC上的射影恰为点B，且AB=AC=A1B=2.

(1)证明：平面A1AC⊥平面AB1B；

（2）若点P为B1C1的中点，求三棱锥P-ABC与四棱锥P-AA1B1B的体积之比.

Answer

（1）证明详见解析；（2）1:1.

【解析】

试题分析：（1）根据直线与平面垂直的性质可得,而已知，由直线与平面垂直的判定定理可得面，根据平面与平面垂直的判定定理可得平面平面；

（2）由已知可知，=2是三棱锥P ABC的高，△ABC是等腰直角三角形，可计算出求三棱锥P ABC的体积.由于AC⊥平面AB1B，点P为B1C1的中点，可知点P到平面距离等于点到平面的距离的一半,计算出四棱锥P AA1B1B的体积即可求解.

试题解析：证明：（1）由题意得：平面ABC，

∴, 2分

又，

∴AC垂直平面AB1B， 3分

∵面，∴平面平面； 5分

（2）在三棱锥中，因为，

底面是等腰直角三角形，

又因为点P到底面的距离=2，所以. 6分

由（1）可知AC⊥平面AB1B，

因为点P在B1C1的中点，

所以点P到平面AA1B1B距离h2等于点C1到平面AA1B1B的距离的一半，即h2=1. 8分

, 10分

所以三棱锥P ABC与四棱锥P AA1B1A1的体积之比为1:1. 12分

考点：1.直线与平面垂直的性质；2.平面与平面垂直的判断和性质；3.锥体的体积.