Question

若实数a，b，c，d满足︱b+a²-3lna︱+（c-d+2）²=0,则（a-c）²+（b-d）²的最小值为        .

Answer

8

【解析】

∵实数a、b、c、d满足：（b+a2-3lna）2+（c-d+2）2=0，∴b+a2-3lna=0，c-d+2=0，设b=y，a=x，则y=3lnx-x2，设c=x，d=y，则y=x+2，

∴（a-c）2+（b-d）2就是曲线y=3lnx-x2与直线y=x+2之间的最小距离的平方值.对曲线y=3lnx-x2求导：y'（x）=，与y=x+2平行的切线斜率k=1=，解得x=1或x=-（舍）

把x=1代入y=3lnx-x2，得y=－1，即切点为（1，-1）切点到直线y=x+2的距离：

∴（a-c）2+（b-d）2的最小值就是8．

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．