Question

如图，在三棱柱中，，顶点在底面上的射影恰为点，．

（1）证明：平面平面；

（2 ）若点为的中点，求出二面角的余弦值．

（1）证明：平面平面；

（2）若点为的中点，求出二面角的余弦值．

Answer

（1）证明详见解析；（2）

【解析】

试题分析：（1）根据直线与平面垂直的性质可得,而已知，由直线与平面垂直的判定定理可得面，根据平面与平面垂直的判定定理可得平面平面；

(2) 过P做PP1//A1B1交A1C1的中点于P1,由（1）可知P1A1,连接P1B,则为二面角的平面角， 解可得cos的值.

试题解析：证明：（1）由题意得：面，

∴, 2分

又，

∴面， 3分

∵面， ∴平面平面； 5分

（2）解法1：以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则

因为P为棱的中点，故易求得． 6分

设平面的法向量为

则得

令，则 8分

而平面的法向量 9分

则 11分

由图可知二面角为锐角，

故二面角的平面角的余弦值是 . 12分

解法2：过P做PP1//A1B1交A1C1的中点于P1,由（1）可知P1A1,连接P1B,则为二面角的平面角， 8分

在中，，，

故二面角的平面角的余弦值是 12分

考点：1.直线与平面垂直的性质；2.平面与平面垂直的判断和性质；3.二面角.