Question

已知函数f（x）=（x+2）ln（x+1）-ax²-x（a∈R）,g（x）=ln（x+1）.

(1)若a=0，F(x)=f(x)-g(x),求函数F（x）的极值点及相应的极值.

(2)若对于任意x₂>0，存在x₁满足x₁<x₂且g(x₁)=f(x₂)成立，求a的取值范围.

Answer

(1) 只有一个极小值点，极小值为0. (2)

【解析】

试题分析：(1)首先求出F（x）的表达式，然后求导，根据单数的性质，求出原函数的单调区间，即可求出函数F（x）的极值点及相应的极值.

(2) 设，依题意即求 在上存在零点时的取值范围.即只需要在上恒成立. 即,在上恒成立.然后分，，，，根据导数的性质分别求使在上成立的a的取值范围，最后求并集.

试题解析：(1),

,

为减函数;

为增函数,

所以只有一个极小值点，极小值为0. 4分

(2) 设

依题意即求 在上存在零点时的取值范围.

又当时，，且在定义域内单调递增，

所以只需要在上恒成立.

即，在上恒成立.

即,在上恒成立. 7分

若，显然不成立,因为由第一问知在为增函数，

故

,即在恒成立,

不妨设，

，

, 9分

若,则，若，,所以为增函数，（不合题意）,

若，若，,为增函数，（不合题意）,

若，若,，为减函数,（符合题意）,

综上所述,若时,恒成立,

则. 12分

考点：1.函数的导数；2.单数的性质；