Question

如图，三角形中，，是边长为的正方形，平面 ⊥底面，若、分别是、的中点．

（1）求证：∥底面；

（2）求证：⊥平面；

（3）求几何体的体积．

Answer

（1）证明过程详见解析；（2）证明过程详见解析；（3）．

【解析】

试题分析：本题主要考查线面垂直、线线垂直、面面垂直、线线平行、线面平行、几何体的体积等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、转化能力．第一问，作出辅助线，在中，HG为中位线，则，在中，HF为中位线，则，，所以，利用线面平行的判定得平面，平面，再利用面面平行的判定得平面//平面，利用面面平行的性质得//平面；第二问，由，得为直角三角形，，而平面，则由线面垂直的性质得，由线面垂直的判定得平面；第三问，取AB中点，由于为等腰直角三角形，所以，而，所以⊥平面，所以CN是锥体的高，利用锥体的体积公式计算体积即可．

（1）取的中点，连结，

因为分别是和的中点，所以，，

又因为为正方形， 所以，从而，

所以平面，平面，，

所以平面//平面，所以//平面． 4分

（2）因为为正方形，所以，所以平面，

又因为平面⊥平面，所以平面，

所以，又因为，

所以，因为,

所以平面． 8分

（3）连结，因为，所以，

又平面⊥平面，平面，所以⊥平面。

因为三角形是等腰直角三角形，所以，

因为是四棱锥，所以=． 12分

考点：线面垂直、线线垂直、面面垂直、线线平行、线面平行、几何体的体积．