Question

已知四边形ABCD满足，E是BC的中点，将△BAE沿AE翻折成，F为的中点．

（1）求四棱锥的体积；

（2）证明：；

（3）求面所成锐二面角的余弦值．

Answer

（1）；（2）证明过程详见解析；（3）．

【解析】

试题分析：本题主要考查面面垂直、线面垂直、锥体的体积、线面平行、二面角、向量法等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力．第一问，由已知条件知，△ABE为等边三角形，所以取AE中点，则，由面面垂直的性质得B1M⊥面AECD，所以是锥体的高，最后利用锥体的计算公式求锥体的体积；第二问，连结DE交AC于O，由已知条件得AECD为棱形，O为DE中点，在中，利用中位线，得，再利用线面平行的判定得面ACF；第三问，根据题意，观察出ME，MD，两两垂直，所以以它们为轴建立空间直角坐标系，得到相关点的坐标以及相关向量的坐标，利用向量法中求平面的法向量的方法求出平面和平面的法向量，最后利用夹角公式求夹角的余弦．

（1）取AE的中点M，连结B1M，因为BA=AD=DC=BC=a，△ABE为等边三角形，则B1M=，又因为面B1AE⊥面AECD，所以B1M⊥面AECD，

所以 4分

（2）连结ED交AC于O，连结OF，因为AECD为菱形，OE=OD所以FO∥B1E，

所以。 7分

(3)连结MD，则∠AMD=，分别以ME,MD,MB1为x,y,z轴建系，则,

,,,所以1，，,,设面ECB1的法向量为，，

令x=1, ，同理面ADB1的法向量为

， 所以，

故面所成锐二面角的余弦值为． 12分

考点：面面垂直、线面垂直、锥体的体积、线面平行、二面角、向量法．