Question

已知关于x的不等式（其中）．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若不等式有解，求实数的取值范围

Answer

（1）{x|−4≤x≤}；（2）．

【解析】

试题分析：本题主要考查对数式的运算、绝对值不等式的解法、函数最值、对数不等式的解法等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，先将a=4代入，得到，然后用零点分段法解绝对值不等式，分情况讨论，解不等式组；第二问，将不等式有解转化为，用零点分段法将绝对值去掉，转化成分段函数，结合图形，求出函数的最小值，代入到所转化的表达式中，利用对数函数的单调性解对数不等式．

（1）当a=4时，不等式即|2x+1| |x 1|≤2，当x＜−时，不等式为 x 2≤2， 解 得−4≤x＜−；当−≤x≤1时，不等式为 3x≤2，解得−≤x≤ ；当x＞1时，不等式为x+2≤2，此时x不存在．

综上，不等式的解集为{x|−4≤x≤} 5分

（2）设f（x）=|2x+1| |x 1|=

故f（x）的最小值为−，所以，当f（x）≤log2a有解，则有，解得a≥，

即a的取值范围是。 10分

考点：对数式的运算、绝对值不等式的解法、函数最值、对数不等式的解法．