Question

如图,在斜三棱柱中,侧面⊥底面,侧棱与底面成60°的角,.底面是边长为2的正三角形,其重心为点,是线段上一点,且.

(1)求证://侧面;

(2)求平面与底面所成锐二面角的余弦值;

Answer

(1)详见解析；(2).

【解析】

试题分析：解法1：（1）延长交于点,根据，,利用相似三角形的比例关系，即可证得直线与直线平行，再运用线面平行的判定定理，即可证得结论；

解法2：（1）建立空间直角坐标系，求出侧面的法向量和向量，判断法向量和向量

垂直，即可证得结论；

（2）求出两个半平面的法向量，利用向量的数量积，求出法向量的夹角的余弦值，再利用法向量的夹角与二面角的平面角之间的关系，即可求得答案；

试题解析：解法1:(1)延长B1E交BC于点F,

∽△FEB,BE=EC1,∴BF=B1C1=BC,

从而点F为BC的中点.

∵G为△ABC的重心,∴A、G、F三点共线.且,

又GE侧面AA1B1B,∴GE//侧面AA1B1B. 5分

(2)∵侧面AA1B1B⊥底面ABC,侧棱AA1与底面ABC成60°的角,∴∠A1AB=60°,

又AA1=AB=2,取AB的中点O,则AO⊥底面ABC.

以O为原点建立空间直角坐标系O—如图,

则,,,,,.

∵G为△ABC的重心,∴.,∴,

∴.又GE侧面AA1B1B,∴GE//侧面AA1B1B. 6分

(2)设平面B1GE的法向量为,则由得

可取又底面ABC的一个法向量为

设平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的大小为,则.

故平面B1GE与底面ABC成锐二面角的余弦值为. 12分

考点：1.线与面平行的判定；2.利用空间向量求二面角.