Question

已知点点分别是轴和轴上的动点，且，动点满足，设动点的轨迹为E.

（1）求曲线E的方程；

（2）点Q（1,a），M,N为曲线E上不同的三点，且，过M,N两点分别作曲线E的切线，记两切线的交点为，求的最小值.

Answer

(1);(2).

【解析】

试题分析：(1)设,利用,用表示的坐标，然后利用,得到的方程，得到点轨迹;

（2）解法一：利用曲线方程,求出点坐标，设，，,通过联立方程，得到的坐标，利用导数，列出过点的切线方程，解出点的坐标，然后再求的最小值，

解法二：利用导数，列出过点的切线方程，解出点的坐标，然后结合,能够得到关于点所满足的方程，再求出的最小值.

试题解析：（1）【解析】
设

，由得 4分

（2）解法一：易知，设，，，

设的方程为

联立方程消去，得，所以.

同理，设的方程为，. 6分

对函数求导，得，

所以抛物线在点处的切线斜率为，

所以切线的方程为，即.

同理，抛物线在点处的切线的方程为. 8分

联立两条切线的方程

解得，，

所以点的坐标为.因此点在直线上. 10分

因为点到直线的距离，

所以，当且仅当点时等号成立．

由，得，验证知符合题意.

所以当时，有最小值. 12分

解法二：由题意，，设，，，

对函数求导，得，

所以抛物线在点处的切线斜率为，

所以切线的方程为，即.

同理，抛物线在点处的切线的方程为.

联立两条切线的方程

解得，， 8分

又

由得

所以点在直线上 10分

因为点到直线的距离，

所以，当且仅当点时等号成立．

有最小值. 12分

考点：1.轨迹方程；2.直线与曲线相交的综合性问题.