Question

已知，函数.

（1）如果时，恒成立，求m的取值范围；

（2）当时，求证：.

Answer

(1),(2)详见解析.

【解析】

试题分析：(1)转化为恒成立，求的最大值；通过导数确定函数的单调性，利用单调性求出函数的最大值，;令,通过求其导数，通过导数的正负，判定函数的单调性，从而求出其最大值;

(2)首先利用分析法将所要证不等式，逐步分析，找到证明其成立的充分条件，即，设函数,利用导数找到其最小值，证明其最小值也大于0，则不等式成立.中档偏难.

试题解析：（1），，.

令（），，递减，

，∴m的取值范围是. 5分

（2）证明：当时，的定义域，

∴，要证，只需证

又∵，∴只需证， 8分

即证

∵递增，，

∴必有，使，即，

且在上，；在上，，

∴

∴，即 12分

考点：1.函数恒成立问题；2.证明不等式的方法；3.利用导数求函数的最小值.