Question

已知函数.

（1）求函数的最小正周期及在区间的最大值；

（2）在中，、、所对的边分别是、、，，，求周长的最大值.

Answer

（1）最小正周期为，在区间上的最大值为；（2）.

【解析】

试题分析：（1）将函数 的解析式利用降幂公式与辅助角公式化简为，利用公式即可求出函数的最小正周期，然后由求出的取值范围，根据图象确定的取值范围，即可求出函数在区间上的最大值；（2）先利用结合角的取值范围求出角的值，解法一是对边利用余弦定理，借助基本不等式求出的最大值，从而求出的最大值，解法二是利用正弦定理与内角和定理将转化为以角的三角函数，将转化为求此函数在区间的最大值.

（1）

，

所以最小正周期，

，，

最大值为；

（2）由得

又

，

解法一：

由余弦定理得,

，

即,

（当且仅当时取等号）

所以；

解法二：由正弦定理得，即，，

所以

，

，，

（当且仅当时取最大值）

，

所以.

考点：1.降幂公式；2.正弦定理与余弦定理；3.三角函数的基本性质；4.基本不等式