Question

某市为“市中学生知识竞赛”进行选拔性测试，且规定：成绩大于或等于90分的有参赛资格，90分以下（不包括90分）的被淘汰.若有500人参加测试，学生成绩的频率分布直方图如图.

(

1)求获得参赛资格的人数；

(2)根据频率直方图，估算这500名学生测试的平均成绩；

(3)若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中每人最多有5次选题答题的机会，累计答对3题或答错3题即终止，答对3题者方可参加复赛.已知参赛者甲答对每一个问题的概率都相同，并且相互之间没有影响.已知他连续两次答错的概率为，求甲在初赛中答题个数的分布列及数学期望.

Answer

(1) 125 ,(2) 78.48 ,(3)

3

4

5

＝

【解析】

试题分析：(1)利用频率分布直方图中小长方体面积表示对应频率的含义，求出获得参赛资格的频率(0.0050＋0.0043＋0.0032)×20 ，再利用频数等于总数乘以频率，得获得参赛资格的人数为500×(0.0050＋0.0043＋0.0032)×20＝125人，(2)利用组中值进行估算平均值，即＝(×0.0065＋×0.0140＋×0.0170＋×0.0050＋×0.0043＋×0.0032)×20＝78.48分. (3)先求出参赛者甲答对每一个问题的概率，由得＝.学生甲答题个数的可能值为3,4,5,甲答题数为3时，要么全答对、要么全答错。甲答题数为5时，前4题必然是两对两错，最后一题不论对错都结束。甲答题数为4时，前3题为一对两错时，第4题必答错；前3题为一错两对时，第4题必答对.最后利用数学期望公式求期望值.

试题解析：(1)由频率分布直方图得,获得参赛资格的人数为500×(0.0050＋0.0043＋0.0032)×20＝125人. . (2分)

(2)设500名学生的平均成绩为,则＝(×0.0065＋×0.0140＋×0.0170＋×0.0050＋×0.0043＋×0.0032)×20＝78.48分. (6分)

(3)设学生甲答对每道题的概率为,则,∴＝

学生甲答题个数的可能值为3,4,5,

则=＝

＝所以的分布列为

3

4

5

＝×3＋×4＋×5＝. (12分)

考点：频率分布直方图, 分布列及数学期望