Question

我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”,己知 是一对相关曲线的焦点，P是它们在第一象限的交点，当 ，则这 一对相关曲线中椭圆的离心率是________．

Answer

【解析】

试题分析：设F1P=m，F2P=n，F1F2=2c，由余弦定理得(2c)2=m2+n2-2mncos60°，即4c2=m2+n2-mn，①

设a1是椭圆的实半轴，a2是双曲线的实半轴，由椭圆及双曲线定义，得m+n=2a1，m-n=2a2，

∴m=a1+a2，n=a1-a2，代入①得，，②

由离心率互为倒数知，所以=，代入②式得整理得，，

两边同除以得，，解得=或=1（舍），所以椭圆的离心率为=．

考点：椭圆定义与性质，双曲线定义与性质，余弦定理，对新概念的理解和应用，转化与化归思想