Question

如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF 平面ABCD，BF=3，G、H分别是CE和CF的中点．

（Ⅰ）求证：AF//平面BDGH；

（Ⅱ）求

 

Answer

（Ⅰ）见解析（Ⅱ）1

【解析】

试题分析：（Ⅰ）连结AC、BD，设AC、BD交于O，连结HO，由ABCD为正方形知，O是AC的中点，由H是CF的中点及三角形中位线定理知，OH∥AF，由线面平行判定定理知，AF∥面BDGH；

（Ⅱ）由BDEF为矩形知DE⊥BD，由面BDEF⊥面ABCD及面面垂直性质定理知DE⊥面ABCD，所以DE⊥AC，由ABCD为正方形知AC⊥BD，所以AC⊥面BDEF，AO是A到面BDEF的距离，因为H是CF的中点，所以H到面BDEF的距离为AO的一半，很容易计算出棱锥H-BEF的体积就是棱锥E-BFH的体积．

试题解析：（Ⅰ） 证明：设，连接，

在中，因为，，

所以，

又因为平面，平面，

所以平面． （6分）

（Ⅱ）因为四边形是正方形，

所以．

又因为平面平面，平面平面，

且平面，

所以平面． 得 平面 （8分）

则H到平面的距离为CO的一半

又因为，三角形的面积，

所以 （12分）

考点：线面平行的判定，面面垂直性质定理，线面垂直的判定与性质，锥体体积计算，推理论证能力