Question

平面内动点P(x，y)与两定点A(-2, 0), B(2,0)连线的斜率之积等于，若点P的轨迹为曲线E，过点 直线 交曲线E于M，N两点．

（Ⅰ）求曲线E的方程，并证明：MAN是一定值；

（Ⅱ）若四边形AMBN的面积为S，求S的最大值

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）16

【解析】

试题分析：（Ⅰ）设出P点坐标，求出AP，BP的斜率，根据条件直线AP、BP斜率之积为列出关于P点坐标的方程，化简即得曲线E方程，设出M、N点坐标及直线方程，将直线方程代入曲线E的方程化为关于的一元二次方程，利用根与系数关系及设而不求思想，利用向量法求出与的夹角，即证明了MAN是一定值；（Ⅱ）利用设而不求思想，将四边形ANBN的面积用参数表示出来，再利用函数求最值的方法，求出其面积的最大值．

试题解析：（Ⅰ）设动点P坐标为，当时，由条件得：

，化简得

曲线E的方程为，, 4分

（说明：不写的扣1分）

由题可设直线的方程为,联立方程组可得

,化简得：

设,则， （6分）

又,则

,

所以,所以的大小为定值 （8分）

(Ⅱ)

令设

在上单调递减．

由，得K=0，此时有最大值16 （12分）

考点：求曲线方程，直线与椭圆的位置，与圆锥曲线有关的最值问题和定制问题，推理论证能力，运算求解能力