Question

已知函数 的定义域是 ， 是 的导函数，且 在上恒成立

（Ⅰ）求函数 的单调区间。

（Ⅱ）若函数 ，求实数a的取值范围

（Ⅲ）设 是 的零点 ， ，求证： ．

Answer

（Ⅰ）的单增区间是，无单减区间；（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用导数的运算法则求出的导数，根据已知条件判断出在定义上正负，从而求出的单调区间；（Ⅱ）求出的导数，将与代入，将条件具体化，根据在上恒成立，通过参变分离化为在上恒成立，利用导数求出最大值M，从而得出实数a的取值范围a＞M；

（Ⅲ）由是 的零点知，是 的零点，由（Ⅰ）知 在（0，+）是单调增函数，得出当时，，即，即＜0，在利用的单调性得出，利用不等式性质得出与的关系，即可得出所证不等式．

试题解析：（Ⅰ）

因为在上恒成立

所以在上恒成立

所以的单增区间是，无单减区间 （3分）

（Ⅱ）

因为在上恒成立

所以在上恒成立

即在上恒成立 （4分）

设 则

令得

当时，；当时，

故函数在上单调递增，在上单调递减，

所以，所以． （8分）

（Ⅲ）因为是的零点，所以

由（Ⅰ）知，在上单调递增，

所以当时，，即

所以当时，

因为，所以，且

即

所以

所以 （12分）

考点：常见函数的导数，导数的运算法则，函数单调性与导数间关系，导数的综合运用，推理论证能力