Question

如图，圆O的直径AB= 10，P是AB延长线上一点，BP=2，割线PCD交圆O于点C、D，过点P作AP的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F．

（Ⅰ）求证：PEC= PDF

（Ⅱ）求PEPF的值

Answer

（Ⅰ）见解析（Ⅱ）24

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由知，B、P、E、C四点共圆，由四点共圆外交等于内对角知，∠CBA=∠PEC，由A、B、C、D四点共圆知∠PDF=∠CBA，所以∠PDF=∠PEC；（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠PDF=∠PEC知F、E、C、D四点共圆，PE×PF=PC×PD，由A、B、C、D四点共圆及切割线定理知PC×PD=PB×PA，结合已知条件即可求出PEPF的值．

试题解析：（Ⅰ）连接,则,

即、、、四点共圆．

∴

又、、、四点共圆,

∴

∴ （5分）

（Ⅱ）∵,

∴、、、四点共圆,

∴,又,

（10分）

考点：四点共圆的判定与性质，切割线定理