Question

以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位,已知直线 的参数方程为 （t为参数， ），曲线C的极坐标方程为．

（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程。

（Ⅱ）设直线 与曲线C相交于A，B两点，当a变化时，求 的最小值

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）4

【解析】

试题分析：（Ⅰ）将两边乘以得，，将代入上式得曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）将将直线的参数方程代入曲线C的普通方程中，整理关于t的二次方程，设M，N两点对应的参数分别为，利用一元二次方程根与系数将，用表示出来，利用直线参数方程中参数t的几何意义得，|AB|=，再转化为关于与的函数，利用前面，关于的表示式，将上述函数化为关于的函数，利用求最值的方法即可求出|AB|的最小值．

试题解析：（Ⅰ）由,得

所以曲线C的直角坐标方程为 （4分）

（Ⅱ）将直线l的参数方程代入,得

设A、B两点对应的参数分别为t1、t2,则

t1+t2=,t1t2=,

∴|AB|=|t1-t2|==,

当时,|AB|的最小值为4 （10分）

考点： 极坐标方程与直角坐标互化，直线与抛物线的位置关系，直线的参数方程中参数t的几何意义，设而不求思想