Question

过原点的直线交双曲线 于P，Q两点，现将坐标平面沿直线y= -x折成直二面角，则折后PQ长度的最小值等于

A．      B．4           C．            D．

Answer

B

【解析】

试题分析：∵双曲线是等轴双曲线，以直线y=±x为渐近线

∴将双曲线按逆时针方向旋转45°角，可得双曲线的图象

∵双曲线的顶点（，0），逆时针方向旋转45°

变为点（，）

∴点（，）在的图象上，可得m=，

即双曲线按逆时针方向旋转45°角，得到双曲线的图象

问题转化为：过原点的直线交双曲线于P、Q两点

将坐标平面沿直线y轴折成直二面角，求折后线段PQ的长度的最小值

设P（t，）（t＞0），过点P作PM⊥y轴于M，连结MQ，

可得M（0，），Q（-t，-），

|MQ|==，在折叠后的图形中，Rt△PMQ中，|PM|=t，

得|PQ|2=|PM|2+|MQ|2=≥=16，

当且仅当t2=4，即t=2时等号成立，

∴当t=2时，即P坐标为（2，）时，|PQ|的最小值为=4．

综上所述，折后线段PQ的长度的最小值等于4，故选B．

考点： 两点间的距离公式、面面垂直的性质、勾股定理，基本不等式求最值，逻辑推理能力，运算能力，转化与化归思想，数形结合思想